DiMaI - Dipartimento di Matematica e Informatica "Ulisse Dini"

Il Dottorato di ricerca in Matematica articola la propria attività in sei curricula che costituiscono la base culturale dei Dottori di Ricerca

ALGEBRA
1. Elementi di teoria dei gruppi. Gruppi abeliani. Azioni di gruppi su insiemi. Gruppi di
permutazioni. Gruppi classici.
2. Teoria degli anelli: teoria degli ideali; anelli a fattorizzazione unica (UFD), anelli a
ideali principali, domini euclidei; anelli di polinomi; anelli noetheriani.
3. Teoria dei moduli su un anello: moduli su PID.
4. Elementi di teoria dei campi e di teoria di Galois.

ANALISI
1. Analisi reale: calcolo differenziale per funzioni di una e più variabili. Successioni e
serie di funzioni, serie di Fourier. Equazioni differenziali ordinarie e problema di
Cauchy. Funzioni implicite: il teorema del Dini per equazioni e per sistemi. Curve e
superfici.
2. Misura e integrazione secondo Lebesgue in Rn.
3. Analisi funzionale: Spazi metrici, spazi di Hilbert e di Banach. Spazi Lp. Elementi di
teoria delle distribuzioni.
4. Cenni sugli spazi di Sobolev. Cenni su equazioni alle derivate parziali. Il principio di
massimo per funzioni armoniche.

ANALISI NUMERICA
1. Algebra lineare numerica.
2. Approssimazione polinomiale e interpolazione.
3. Ricerca delle radici di equazioni e sistemi non lineari.
4. Integrazione numerica del problema di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie.

GEOMETRIA
1. Algebra lineare. Forme canoniche di endomorfismi. Forme bilineari e hermitiane.
Algebra tensoriale e esterna. Gruppi classici in geometria.
2. Geometria degli enti lineari e delle quadriche negli spazi proiettivi, affini ed euclidei.
Teoria elementare delle curve algebriche piane. Curve e superficie nello spazio
euclideo.
3. Topologia generale. Omotopia. Gruppo fondamentale e applicazioni. Rivestimenti.
Superfici topologiche.
4. Varietà differenziabili e applicazioni differenziabili. Campi vettoriali. Forme
differenziali e loro integrali. Metriche Riemanniane e loro invarianti.
5. Teoria elementare delle funzioni olomorfe e loro singolarità. Teoria dei residui.
Principio del massimo modulo e applicazioni. Generalità sulle superficie di
Riemann.

MECCANICA E FISICA MATEMATICA
1. Meccanica newtoniana: principi generali. Dinamica del punto e dei sstemi di punti.
Dinamica dei sistemi rigidi. Dinamica dei sistemi continui.
2. Meccanica analitica lagrangiana e hamiltoniana.
3. Equazioni differenziali della Fisica Matematica. equazione di Laplace, equazione
delle onde, equazione del calore. Teorema di Cauchy-Kovalevski.

PROBABILITA' E STATISTICA
1. Teoria della percolazione e modelli di meccanica statistica rigorosa.
2. Equazioni di Navier-Stokes stocastiche.
3. Processi di Markov ed ergodicità.